KYOWA KIRIN

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第6回 連続データの差の検定(t検定)

  

例題

体重差の評価(2群間)

神のみぞ知る母集団の値

計子先生

さて、いよいよ今回は、血圧や体重などの連続データについて、「2つのグループの平均値に差があるかどうか?」を評価したいとき、なおかつ母集団の平均も分散もわからないときに使えるt検定について説明するわ。 まずは例題よ。

例題

ある病院に通院している糖尿病患者について、積極的な生活指導を行った群(26人)と、通常の指導を行った群(26人)で、指導1ヵ月後の体重に差があるかどうかを評価した。

積極指導群:体重の平均値64.0kg・「平均からのズレの2乗の和」250
通常指導群:体重の平均値67.0kg・「平均からのズレの2乗の和」225

積極的指導によって体重が変化したといえるかを、仮説検定によって評価しなさい。

さあ、仮説検定の順序を思い出して、やってみましょう!

新太郎くん

ええと・・・ まずは、「帰無仮説と対立仮説の設定」ですね!これでいいですか?

帰無仮説:積極指導群と通常指導群で、体重に差はない
対立仮説:積極指導群と通常指導群で、体重に差がある

計子先生

そのとおり!

新太郎くん

次は帰無仮説の確率を計算するために...
標準偏差をまず求めます!

計子先生

だいぶ、冴えてきたわね。その調子で続けて!

新太郎くん

分散σ2=平均からのズレの2乗の和/標本数
                          標準偏差σ=√σ2
だから、積極指導群の標準偏差は√250/26=3.1 ですか?

計子先生

正解!と言いたいところだけど、実はヒッカケがあるのよ。

新太郎くん

(またヒッカケ?)でも定義どおり計算しましたよ。

計子先生

分散・標準偏差を求める計算式は間違っていないわ。
でも新太郎くんが求めたのは積極指導群26人の体重の分散・標準偏差よ。
26人の体重の標本(標本)から求めた分散なので、標本分散・標本標準偏差と呼ぶのよ。

新太郎くん

そうですよね。どこがおかしいのでしょうか?

計子先生

今知りたいのは、「とってきた標本の間で差があるか?」ではなくて、「糖尿病の患者さん全体に対して、積極指導と通常指導とでの差が出せるか?」なのよ。このときに必要な「ものさし」は、「26人(標本)のばらつき度合い(標本分散・標本標準偏差)」でなく、「糖尿病の患者さん全体(母集団)でのばらつき度合い(母分散・母標準偏差)なの。

解説【6-1】

実験した26人(標本)の中でのばらつき:標本分散・標本標準偏差
糖尿病患者全体(母集団)でのばらつき:母分散・母標準偏差

新太郎くん

そうなんですか...でも、第5回の内閣支持率のときは、あまり気にしないで「支持率40%=0.4で100人だから、分散は100×0.4×(1-0.4)=24」って計算しましたが...。

計子先生

前回は、100人の標本ではなく、日本人全体での平均値(40%)と分散(24)の値がわかっていたでしょ。つまり、母集団の平均値と分散が与えられている状態だったわ。でも、今回はどうかしら?

新太郎くん

糖尿病患者全体に指導したときの体重の平均と分散!?...そんなの、わかるわけないですよ。

計子先生

そうね。わかっていたら、そもそも実験をする必要がないわ。動物相手の非臨床試験であれ、人間相手の臨床試験であれ、母集団の平均値と分散がわかっていることは、現実的にはほとんどないと考えるべきよ。

解説【6-2】

(通常の実験では)
母集団の平均値や分散がわかることは、ほとんどない

イラスト

母集団の平均値・分散の求め方

新太郎くん

では、どうやって計算をすればいいのでしょうか?

計子先生

「手がかり」になるのは、標本の平均値(64.0kg)と分散 250/26 だけね。ここからなんとかして、母集団の平均値と分散を予想しないといけないわ。
「母集団の平均値」については、実は数学的に標本の平均値(標本平均)そのままの値だと予測しても、問題ないことが示されているのよ(ノート1参照)。

新太郎くん

問題がないってことは、母集団の平均値と標本の平均値が同じになるのでしょうか?

計子先生

もちろん、標本の平均値はまったく母集団の平均値と一致するわけではないわ。
詳細は「ノート1」で説明してるけど、ひとまずは「平均値については、標本の平均値を母平均の代用としてしまって問題ない」と覚えておけば大丈夫よ。
このことを「標本の平均値(標本平均)は、母平均の不偏推定量である」という言い方をするのよ。

母集団の平均値(母平均の不偏推定量):標本の平均値で置き換え可能

(標本の平均値(標本平均)は、母平均の不偏推定量である)

新太郎くん

「不偏推定量」とか、また難しい言葉が出てきましたね...

計子先生

「不偏」という言葉の意味は、「ある範囲のすべての事物に共通する性質」などの意味があるけど、ひとまずは、「平均値については、標本の平均値を母平均の代用としてしまって問題ない」と覚えておけば大丈夫よ。

新太郎くん

ところで、わざわざ「平均は」って断るってことは、分散はそうではないってことですね?
(だんだん計子先生の性格がわかってきたぞ。)

計子先生

鋭いわね。「母平均=標本平均」、「母分散=標本分散」...となればきれいにまとまるんだけど、分散は少しヒッカケがあるのよ。
実は、標本の「平均からのズレの2乗」を足し合わせて、nで割り算してしまうと、母分散よりも少し小さめの値になってしまうの。

新太郎くん

そうなんですか?それでは、ちょっと大きくしてあげればいいんでしょうか?

計子先生

そのとおり!数学的には、nで割り算するんじゃなくて、n-1で割り算すると、さっきの平均値と同様に母分散の数値を「ブレなく」予測できるのよ。この値を、不偏分散と言うのよ。不偏分散の平方根が、不偏標準偏差(注)よ。これ以降の評価には、標本から通常どおりの式で計算した「標本平均(すなわち、母平均の不偏推定量)」と、ズレの2乗の和をnではなくn-1で割った「不偏分散」、そしてその平方根である「不偏分散」をものさしに使うことになるわ。

(注)不偏分散について
不偏分散は母分散の不偏推定量ですが、「不偏分散の平方根」は、母標準偏差の不偏推定量にはなりません。そのため、「不偏標準偏差」ではなく、「不偏分散」の表現を使っています。

標本分散と不偏分散

抽象的な話が長くなってしまったけど、今のデータで標本平均と不偏分散、さらに不偏標準偏差を計算しましょう。

新太郎くん

まず積極指導群から計算します!

計算式
ですね。

つぎに通常指導群は、

計算式
です!

解説【6-3】

母集団の平均・分散が不明のときの求め方

母平均

=標本平均(母平均の不偏推定量)で代用

母分散

計算式

母標準偏差

計算式

計子先生

そのとおり!では次に実際の計算よ。

標準誤差(平均値の差)

計子先生

さっきの計算から、
(積極指導群)平均:64.0kg √不偏分散(S1):3.16kg
(通常指導群)平均:67.0kg √不偏分散(S2):3.00kg
となったわ。2ページ目で設定した「帰無仮説」は「積極指導群と通常指導群で、体重に差はない」だったから、「両群に差がないとき、観測されたような現象(積極指導群:平均64.0kg、不偏標準偏差(SD)=3.16kg。通常指導群:平均67.0kg、SD=3.00kg)が起こる」ことがどのくらい珍しいかを、また評価することになるわ。さて、どんな式をたてればよいかしら?

【注:SD、Standard Deviation(標準偏差)】

新太郎くん

たぶん、平均の差の67-64=3kgが分子にきて、それを標準偏差(SD)をものさしにして評価するんですよね。でも、SDが積極指導群のS1と通常指導群のS2で別々に2つあるし...、どうしたらよいんでしょう?

計子先生

分子が平均の差3kgになるのは正解よ。では、分母をどうすればよいかだけど、まず今着目しているのは、「積極指導群と通常指導群、それぞれ標本の分布に差があるか?」ではなくて、「積極指導群と通常指導群、標本の平均に差があるか?」でしょ。標本の分布=ばらつき度合いそのものよりも、平均に差があるかどうかを知りたいわけね。

新太郎くん

うーん...グループの一人一人のデータを見たいのではなくて、全体の平均が違うかどうかを見たいってことですか?

標準偏差と標準誤差

計子先生

そうよ。大事なのは、一つ一つの標本のばらつきではなくて、積極指導群・通常指導群それぞれの平均値=標本平均がどのくらいばらつくかなの。ここで注目したい「平均値のばらつき度合」=「標本平均の標準偏差」を、特別に「標準誤差」と呼ぶのよ。

解説【6-4】

大事なのは、「個々の標本の分布」ではなく、「それぞれの群の平均値」に差があるかどうか

→個々の値ではなく、「平均値の差」のばらつきに注目

平均値(標本平均)のばらつき度合いは、

を、とくに「標準誤差(SE:Standard Error)」と定義します。

新太郎くん

ううぅ...。似たような言葉がたくさん出てきて混乱してきた...

計子先生

標本全体を個々に見るのではなくて、ある値(ここでは平均値)に代表させてその値同士でグループの比較をしたい。こんなとき、代表値同士のばらつき=標準偏差を、標準誤差(SE)と呼ぶのよ。
覚え方は単純に「標準偏差(σ)÷ 標本数の平方根( )」で大丈夫よ。

新太郎くん

ともかく、 で割ればいいのか...それなら、何とかなりそうです。

計子先生

では、それぞれの群の標本平均の標準誤差を求めてみましょう。

新太郎くん

積極指導群が 、通常指導群が かな?あ、26-1で割るんでしょうか?

計子先生

ややこしいかもしれないけど、ここではn-1でなく、標本数nのままで大丈夫よ。

新太郎くん

じゃあこのままで、それぞれ0.62と、0.59ですね。

計子先生

さて、これで道具は揃ったんだけど、ちょっと困ったことに、ここでは分母を1つの値に揃えないといけないわ。
つまり、不偏分散を積極指導群と通常指導群でまとめてあげる必要があるの。具体的には、こんな式よ。

解説【6-5】

不偏分散をまとめる

積極指導群の標本数n1√不偏分散S1
通常指導群の標本数n2√不偏分散S2

新太郎くん

ああ~。なんかすごい複雑そうな式...

計子先生

いきなり見ると複雑だけど、分解して考えるのよ。
まず分母は、(積極指導群標本数-1)+(通常指導群標本数-1)よね。そして分子は、積極指導群と通常指導群それぞれ、「標本数-1」に「不偏分散の2乗」をかけているのよ。そして、最終的に全体の平方根をとる。これは、「2つの不偏分散について、標本数で重みを付けて平均をとっている」ことに相当するのよ。

統合した不偏分散=各群の不偏分散の「重み付け平均」

実際に値を入れて計算しましょう。

新太郎くん

えーっと、
分母:26+26-2=50。分子: だから、結局 の平方根ですね。だから で、3.08になりました。

解説【6-6】

積極指導群 n1=26人、S1=

積極指導群 n2=26人、S2=

統合した√不偏分散S

標準誤差の計算式

新太郎くん

標準誤差の計算式はさっきよりシンプルな式ですが...。

計子先生

それぞれの群について、標本数の逆数をとって足し合わせ、さらに平方根をとるのよ。この式も標本数n-1でなくて、nをそのまま組み込むのよ。

新太郎くん

3.08にをかけて...平均の差の標準誤差は、0.854です!

2群間のズレの大きさを評価→t値

計子先生

これで、「ものさし」が計算できたわ。あとは、このものさしを使って、ズレの大きさを評価するのよ。

新太郎くん

「ズレ」は、平均値の差ですよね。だから、67.0-64.0=3.0kg。これを標準誤差0.854で割ればいいのでしょうか?
3.0÷0.854=3.51で、1.96より大きいから...。

計子先生

だいぶ、この方法に慣れてきたようね。今求めた値を、tもしくはt統計量と呼ぶのよ。

解説【6-7】

t値

平均の差のズレ/標準誤差

計子先生

でも、注意しないといけないことがあるわ。前回の内閣支持率は、正規分布の数表をそのまま使って、1.96より大きいかどうかを見ればよかったわよね?今回は正規分布の数表はそのまま使えないわ。

新太郎くん

そのまま使えないってことは、なにか変えなくてはいけないんですか?

計子先生

実は、さっきの標本分散と不偏分散の話は共通するのよ。前回は母分散や母標準偏差がそのままわかったけど、今回は標本から計算した不偏分散や不偏分散を、「代理」として使っているわね。だから、若干予測のあいまいさが残っている分、分布の形が変わってしまうのよ。

新太郎くん

あいまいだから分布の形が変わる...どう変わるんですか?

計子先生

あいまいさが残る分、少し分布の「ブレ」が大きくなっているわ。「ブレが大きくなる」は、正規分布が左のグラフだとしたら、右のような若干なだらかな分布になることを示しているわ。このような分布を、t分布と呼ぶの。

新太郎くん

なだらかな分布になると、何が起こるんでしょう?

計子先生

たとえば正規分布の場合は、平均値±1.96σの範囲に全体の95%が収まったわよね。でもブレの大きい分布だと、同じ範囲のときにどうなるかしら?

新太郎くん

裾が長くなるんだから...95%より小さくなりそうです。

計子先生

そのとおり!だから、帰無仮説が棄却されるか否かの境界は1.96より大きくなるのよ。さらにもう一つ、標本数が少ない場合と、多い場合とでは、どちらがブレが大きいかしら?

新太郎くん

うーん...少ないときの方が、よりあいまいさが大きいでしょうか?

計子先生

そのとおり!標本数が少ないとブレが大きくて、多くなるにつれてどんどん小さくなっていくわ。だから、分布の形は標本数が少ないとなだらかに、多いと鋭くなって、どんどん多くしていくといつかは正規分布に一致するわ。言い換えれば、棄却されるか否かの境界の値は最初はとても大きくて、だんだん1.96に近づいていくの。

t分布表で判定

新太郎くん

今回の場合は、境界はいくつなんでしょう?

計子先生

そこで役に立つのが、このt分布表ノート2)よ。正規分布表と同じく、通常使うのは「0.05」の列だけよ。行の数値は、標本数に相当するわ。

新太郎くん

では、26+26で52のところを見ればよいのでしょうか?

計子先生

実は少しだけ修正が必要なの。標本数nをそのまま足すのではなく、各群それぞれ1を引いてから足し算するのよ。だから、(26-1)+(26-1)=50となります。この数値を、自由度と言うのよ。

自由度

グループごとの標本数-1の総和
正規分布の1.96の代わりに、対応する自由度の5%点の数値で判定

新太郎くん

自由度が50だと...値は2.009ですね。1.96より少しだけ大きくなったかな?

計子先生

自由度50くらいになると、かなり正規分布に近づいているから、境界の値はあまり変わらなくなるわ。この値を、「自由度50のt分布の5%点」と表現するのよ。同じ5%でも、自由度が変われば値も変わるので、自由度がいくつなのかをはっきり示す必要があります。では、この値をもとにして、いよいよ帰無仮説を棄却できるかどうか判定よ!

新太郎くん

平均の差67.0-64.0=3.0kgを標準誤差0.854で割って、3.0÷0.854=3.51。3.51>2.009だから、帰無仮説を棄却して、「糖尿病患者へ積極指導する場合と、通常指導する場合とで、1ヵ月後の体重は変わる」でしょうか!?

計子先生

正解! 今求めた3.51がtもしくはt統計量なのよ。

解説【6-8】

計算式

(S:統合した標準偏差 n1, n2:各群の標本数)

連続データの差の検定法(t検定) まとめ

計子先生

改めてまとめると、「ズレ」をものさしで割って、境界値より大きくなるかどうかを見る...この点は、前回と全く変わらないわ。ただし、「平均値に興味があるので、ものさしが『平均値の標準偏差』=『標準誤差』になる」ことと、「平均・分散・標準偏差について、母集団の元々の値ではなく、標本の値を代用しているので、分布の形が変わって、境界値が変わる」ことに注意が必要よ。さっきは「t分布表」を使ったけど、このような検定をt検定と呼ぶのよ。

解説【6-9】

連続データの差の検定法(t検定)

平均値の差の「標準誤差」が、新たなものさしになる。標準誤差で測ったズレの大きさが、t分布表の5%点の値より大きいかどうかで検定結果を判定する。

1 両群の不偏分散を求める

計算式

2 各群の不偏分散を統合する
  統合した不偏分散=各群の不偏分散の「重み付け平均」

計算式

(グループ1の標本数n1√不偏分散S1、グループ2の標本数n2√不偏分散S2

3 統合した不偏分散から、平均値の差の標準誤差を求める
  標準誤差=統合した√不偏分散 × √標本数の逆数の和

計算式

4 ズレの大きさを、標準誤差をものさしに測って、t値を求める

計算式

5 標本数から計算した自由度を参考に、求めたt値とt分布表の数値を比較し、
  帰無仮説を棄却できるかどうか判定する

自由度γ=(各群の標本数-1)の総和
(この例題では(n1-1)+(n2-1) )

自由度γのt分布の5%点t(0.05)とt値を比較
t(0.05)<t値 ならば帰無仮説を棄却できる
t(0.05)>t値 ならば帰無仮説を棄却できない

ノート1 母平均と標本平均の関係

計子先生

「母集団の平均値」について、標本の平均値(標本平均)そのままの値だと予測しても、問題ないことを示すために、あえて小さい「母集団」を例に説明するわね。

下表は某大学の某サークル10人が一ヵ月にコンビニを利用する回数を調査した結果だとするわ。この10人を母集団だとしましょう。

あるサークル10人のコンビニ利用回数(月)

Aさん

35

Bさん

62

Cさん

38

Dさん

64

Eさん

26

Fさん

59

Gさん

74

Hさん

52

Iさん

61

Jさん

29

平均

50

このうち標本5人(A君、B君、C君、D君、E君)の平均を求めると45回、別の標本5人(B君、C君、D君、E君、F君)を選んで、平均を求めると49.8回...というように何度も何度も繰り返し「標本抽出→平均値算出」を繰り返すの。10人中5人を選ぶ組み合わせは252通りあるから、252個の平均値が得られるわ(この252個の平均値の分布を「標本分布」と呼ぶ)。

この「252個の平均値(標本数が5人の場合の標本分布)」のさらに平均を求めると50になるの。驚くべきことに、これは最初の10人(母集団)の平均と同じになるのよ。

「標本の平均の =母平均」という関係は標本数が5人だろうが6人だろうが、いくつの場合でも成り立つわ。

このことを、「標本の平均値の『期待値』は、母平均に等しい」あるいは、「標本の平均値(標本平均)は母平均の不偏推定量である」と言うのよ。

不偏性があると、推定量の値(標本の平均)は真の値(母平均) になるわ。
不偏でない推定量だと、繰り返し計算したときの平均値と、真の値(母平均の値)がズレるということよ。不偏推定量は知りたい数値を、ブレ(本来はバイアス)なく推定できるってことよ。ひとまずは、「平均値については、標本の平均値を母平均の代用としてしまって問題ない」と覚えておけば大丈夫よ。

ノート2 t分布表

正規分布グラフ
a 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.05
0.02 0.01 0.001
1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619
2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 31.599
3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 12.924
4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 8.610
5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6.869
6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.959
7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 5.408
8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 5.041
9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.781
10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.587
11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.437
12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 4.318
13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 4.221
14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 4.140
15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 4.073
16 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 4.015
17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.965
18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.922
19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.883
20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.850
21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.819
22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792
23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.768
24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.745
25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.725
26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.707
27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.690
28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.674
29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.659
30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.646
31 0.682 0.853 1.054 1.309 1.696 2.040 2.453 2.744 3.633
32 0.682 0.853 1.054 1.309 1.694 2.037 2.449 2.738 3.622
33 0.682 0.853 1.053 1.308 1.692 2.035 2.445 2.733 3.611
34 0.682 0.852 1.052 1.307 1.691 2.032 2.441 2.728 3.601
35 0.682 0.852 1.052 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 3.591
36 0.681 0.852 1.052 1.306 1.688 2.028 2.434 2.719 3.582
37 0.681 0.851 1.051 1.305 1.687 2.026 2.431 2.715 3.574
38 0.681 0.851 1.051 1.304 1.686 2.024 2.429 2.712 3.566
39 0.681 0.851 1.050 1.304 1.685 2.023 2.426 2.708 3.558
40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.551
50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 3.496
60 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.460
80 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 3.416
99 0.677 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.365 2.626 3.392
100 0.677 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 3.390
120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.373
240 0.676 0.843 1.039 1.285 1.651 1.970 2.342 2.596 3.332
0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.96 2.326 2.576 3.291

表の数値をkとおくと、自由度v(縦軸)のt分布が、-kからkまでの範囲の値をとる確率が1-a(横軸)に等しくなる。

KK-17-01-17113

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